1 線形方程式の解法の選択
2 参考文献および参考書の記述
線形方程式, >>> 実非対称/複素非エルミート, >>> 安定性重視 >>> GCR 法


概要

  • GCR法(共役残差法)は1983年にEisenstat, Elman, Schultzによって提案された非エルミート線形方程式向けのKrylov部分空間法である.
  • 初期近似解を, 対応する初期残差をと置く. この時, GCR法の反復目の近似解は,
     
     
    のように, 初期近似解とクリロフ部分空間で張るアフィン空間に含まれ, 残差ベクトル
     
     
    の直交条件(Petrov-Galerkin条件)を満たすように設定される.
  • GCR法の残差ベクトルは, 最小残差条件
     
     
    を満たし, 残差ノルムの単調減少性が保証される.
  • Krylov部分空間の基底として, Arnoldi原理によって生成された正規直交基底を用いる. Arnoldi原理は長い漸化式を持つため, 反復回数の増加に伴って, 反復当たりの演算量および記憶容量が増大する. このため, 実用上はリスタート版のGCR(m) 法やトランケート版のORTHOMIN(m) 法が用いられる.
  • CR 法を非エルミート線形方程式へ拡張した解法であり, GCR法をエルミート線形方程式に対して適用した場合は, CR法と数学的に同値である.

導出

準備中

アルゴリズム

GCR法

  1. Set an initial guess
  2. Compute
  3. For
  4.   
  5.   
  6.   
  7.   
  8.   
  9.   
  10. End For

前処理付きGCR法

  1. Set an initial guess
  2. Compute
  3. For
  4.   
  5.   
  6.   
  7.   
  8.   
  9.   
  10. End For

サンプルプログラム

準備中

適用事例

準備中

参考文献および参考書

原著論文

[5] Stanley C. Eisenstat, Howard C. Elman and Martin H. Schultz, Variational iterative methods for nonsymmetric systems of linear equations, SIAM Journal on Numerical Analysis 1983; 20(2):345–357.

教科書

[14] Yousef Saad, Iterative Methods for Sparse Linear Systems, 2nd ed., SIAM: Philadelphia, PA, 2003.
P194–196

[23] Masaaki Sugihara and Kazuo Murota, Theoretical Numerical Linear Algebra, Iwanami Press: Tokyo, 2009, (in Japanese).
P164–173

[29] 藤野 清次, 張 紹良, 反復法の数理 (応用数値計算ライブラリ) 朝倉書店, 1996.
P63–70


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Last-modified: 2012-03-30 (金) 11:06:36 (3749d)