Bi-CR 法

1 線形方程式の解法の選択
2 参考文献および参考書の記述
線形方程式, >>> 実非対称/複素非エルミート, >>> 高速性重視 >>> Bi-CR 法

概要 †

• Bi-CR法(双共役残差法)は2005年に曽我部, 杉原, 張によって提案された非エルミート線形方程式向けのKrylov部分空間法である.

• 初期近似解を, 対応する初期残差をと置く. この時, Bi-CG法の反復目の近似解は,
   
  
   
  のように, 初期近似解とクリロフ部分空間で張るアフィン空間に含まれ, 残差ベクトルが
   
  
   
  の直交条件(Petrov-Galerkin条件)を満たすように設定される. ここで, は初期シャドウ残差と呼ばれ, となるように設定する. 一般にはと設定される.

• Krylov部分空間の基底として, Bi-Lancoz原理によって生成された双直交基底を用いる. Bi-Lanczos原理はArnoldi原理と異なり短い漸化式を持つため, GMRES 法, GCR 法, FOM 法と異なり, 一般にはリスタートやトランケート等の技法は必要としない. その代わりに, 反復当たりにだけでなくに対する行列ベクトル積を必要とする.

• CR 法を非エルミート線形方程式へ拡張した解法であり, Bi-CR法をエルミート線形方程式に対して適用した場合は, CR法と数学的に同値である.

導出 †

準備中

アルゴリズム †

Bi-CR法 †

1. Set an initial guess
2. Compute
3. Set an arbitrary vector s.t. , e.g.,
4. Set
5. For
6. 　　
7. 　　
8. 　　
9. 　　
10. 　　
11. 　　
12. 　　
13. 　　
14. End For

前処理付きBi-CR法 †

1. Set an initial guess
2. Compute
3. Set an arbitrary vector s.t. , e.g.,
4. Set
5. For
6. 　　
7. 　　
8. 　　
9. 　　
10. 　　
11. 　　
12. 　　
13. 　　
14. 　　
15. End For

サンプルプログラム †

準備中

適用事例 †

準備中

参考文献および参考書 †

原著論文 †

[18] Tomohiro Sogabe, Masaaki Sugihara and Shao-Liang Zhang, An extension of the conjugate residual method for solving nonsymmetric linear systems, Transactions of the Japan Society for Industrial and Applied Mathematics 2005; 15(3):445–459, (in Japanese).

[19] Tomohiro Sogabe, Masaaki Sugihara and Shao-Liang Zhang, An extension of the conjugate residual method to nonsymmetric linear systems, Journal of Computational and Applied Mathematics 2009; 226(1):103–113.

教科書 †