FOM 法

1 線形方程式の解法の選択
2 参考文献および参考書の記述
線形方程式, >>> 実非対称/複素非エルミート, >>> 安定性重視 >>> FOM 法

概要 †

• FOM法(完全直交化法)は1981年にSaadによって提案された非エルミート線形方程式向けのKrylov部分空間法である.

• 初期近似解を, 対応する初期残差をと置く. この時, GMRES法の反復目の近似解は,
   
  
   
  のように, 初期近似解とクリロフ部分空間で張るアフィン空間に含まれ,
   
  
   
  の直交条件(Ritz-Galerkin条件)を満たすように設定される.

• Krylov部分空間の基底として, Arnoldi原理によって生成された正規直交基底を用いる. Arnoldi原理は長い漸化式を持つため, 反復回数の増加に伴って, 反復当たりの演算量および記憶容量が増大する. このため, 実用上はリスタート版のFOM(m) 法やトランケート版のDIOM(m)法が用いられる.

• CG 法を非エルミート線形方程式へ拡張した解法であり, FOM法をエルミート線形方程式に対して適用した場合は, CG法と数学的に同値である.

導出 †

準備中

アルゴリズム †

FOM法 †

1. Set an initial guess
2. Compute
3. Set
4. For
5. 　　
6. 　　For
7. 　　　　
8. 　　　　
9. 　　End For
10. 　　
11. 　　
12. 　　For
13. 　　　　
14. 　　End For
15. 　　If then
16. 　　　　
17. 　　　　
18. 　　　　Stop
19. 　　End If
20. 　　
21. 　　
22. 　　
23. 　　
24. 　　
25. 　　
26. End For

前処理付きFOM法 †

1. Set an initial guess
2. Compute
3. Set
4. For
5. 　　
6. 　　For
7. 　　　　
8. 　　　　
9. 　　End For
10. 　　
11. 　　
12. 　　For
13. 　　　　
14. 　　End For
15. 　　If then
16. 　　　　
17. 　　　　
18. 　　　　Stop
19. 　　End If
20. 　　
21. 　　
22. 　　
23. 　　
24. 　　
25. 　　
26. End For

サンプルプログラム †

準備中

適用事例 †

準備中

参考文献および参考書 †

原著論文 †

[13] Yousef Saad, Krylov subspace methods for solving large unsymmetric linear systems, Mathematics of Computation 1981; 37(155):105–126.

教科書 †

[14] Yousef Saad, Iterative Methods for Sparse Linear Systems, 2nd ed., SIAM: Philadelphia, PA, 2003.
P159–161