CG 法のバックアップ(No.7)

1 線形方程式の解法の選択
 2 参考文献および参考書の記述
線形方程式, >>> 実対称/複素エルミート, >>> 正定値 >>> CG 法

概要
導出
アルゴリズム
- CG法
- 前処理付きCG法
サンプルプログラム
適用事例
参考文献および参考書
- 原著論文
- 教科書

概要 †

1952年にHestenesとStiefelよって提案された, 正定値エルミート(HPD)線形方程式向けに提案されたKrylov部分空間法である.

初期近似解を対応する初期残差をと置く. また, 線形方程式の真の解をと置く. この時, CG法の反復目の近似解は,

・・・(1)

のように, 初期近似解とクリロフ部分空間で張るアフィン空間に含まれ, アフィン空間上で2次関数

・・・(2)

を最小化するように設定される. (行列が正定値の時, である.)

CG法の近似解に対応する残差ベクトルは

・・・(3)

の直交性(Ritz-Galerkin条件)を持つ.

CG法の収束性は

・・・(4)

で表され, 2次関数値は単調に減少する. ここで, (最大固有値)/(最小固有値)であるとする. ただし, 一般に収束判定に用いられる残差ノルムは単調減少しない点に注意する.

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導出 †

準備中

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アルゴリズム †

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CG法 †

Set an initial guess
Compute
For
　　
　　
　　
　　
　　
End For

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前処理付きCG法 †

Set an initial guess
Compute
For
　　
　　
　　
　　
　　
End For

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サンプルプログラム †

準備中

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適用事例 †

準備中

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参考文献および参考書 †

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原著論文 †

[10] Magnes R. Hestenes and Eduard Stiefel, Methods of conjugate gradients for solving linear systems, Journal of Research of the National Bureau of Standards 1952; 49(6):409–436.

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教科書 †

[2] Richard Barrett, Michael W. Berry, Tony F. Chan, James Demmel, June Donato, Jack Dongarra, Victor Eijkhout, Roldan Pozo, Charles Romine and Henk A. van der Vorst, Templates for the Solution of Linear Systems: Building Blocks for Iterative Methods, SIAM: Philadelphia, PA, 1993.
P14–17

[14] Yousef Saad, Iterative Methods for Sparse Linear Systems, 2nd ed., SIAM: Philadelphia, PA, 2003.
P187–194

[27] Henk A. van der Vorst, Iterative Krylov Methods for Large Linear Systems, Cambridge University Press: New York, NY, 2003.
P37–47

[23] Masaaki Sugihara and Kazuo Murota, Theoretical Numerical Linear Algebra, Iwanami Press: Tokyo, 2009, (in Japanese).
P148–153

[29] 藤野清次, 張紹良, 反復法の数理 (応用数値計算ライブラリ)　朝倉書店, 1996.
P31–35

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