[[1 線形方程式の解法の選択]]&br;
[[2 参考文献および参考書の記述]]&br;
線形方程式, &math(Ax=b); >>> 実非対称/複素非エルミート, &math(A\not=A^H); >>> 高速性重視 >>> Bi-CG 法
#contents

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*概要 [#y341284b]
-Bi-CG法(双共役勾配法)は1976年にFletcherによって提案された非エルミート線形方程式向けのKrylov部分空間法である.

-初期近似解を&math(\vec{x}_0);, 対応する初期残差を&math(\vec{r}_0:=\vec{b}-A\vec{x}_0);と置く.
この時, Bi-CG法の&math(k);反復目の近似解&math(\vec{x}_k);は,
#br
CENTER:&math(\vec{x}_k \in \vec{x}_0 + {\mathcal K}_k(A,\vec{r}_0), \quad {\mathcal K}_k(A,\vec{r}_0) := {\bf span}\{\vec{r}_0, A\vec{r}_0, \ldots, A^{k-1}\vec{r}_0 \});
#br
のように, 初期近似解&math(\vec{x}_0);とクリロフ部分空間&math({\mathcal K}_k(A,\vec{r}_0));で張るアフィン空間に含まれ, 残差ベクトル&math(\vec{r}_k=\vec{b}-A\vec{x}_k);が
#br
CENTER:&math(\vec{r}_k \bot {\mathcal K}_k(A^H,\vec{r}^\ast_0));
#br
の直交条件(Petrov-Galerkin条件)を満たすように設定される.
ここで, &math(\vec{r}_0^\ast);は初期シャドウ残差と呼ばれ, &math( (\vec{r}_0, \vec{r}_0^\ast)\neq0);となるように設定する. 
一般には&math(\vec{r}_0^\ast = \vec{r}_0);と設定される.

-Krylov部分空間の基底として, Bi-Lancoz原理によって生成された双直交基底を用いる.
Bi-Lanczos原理はArnoldi原理と異なり短い漸化式を持つため, [[GMRES 法]], [[GCR 法]], [[FOM 法]]と異なり, 一般にはリスタートやトランケート等の技法は必要としない.
その代わりに, 反復当たりに&math(A);だけでなく&math(A^H);に対する行列ベクトル積を必要とする.

-[[CG 法]]を非エルミート線形方程式へ拡張した解法であり, Bi-CG法をエルミート線形方程式に対して適用した場合は, CG法と数学的に同値である.

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*導出 [#y765dbc2]
準備中

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*アルゴリズム [#g3c09fe9]
**Bi-CG法 [#xc2f5148]
+Set an initial guess &math(\vec{x}_0);
+Compute &math(\vec{r}_0=\vec{b}-A\vec{x}_0);
+Set an arbitrary vector &math(\vec{r}_0^\ast); s.t. &math( (\vec{r}_0, \vec{r}_0^\ast)\neq0);, e.g., &math( \vec{r}_0^\ast = \vec{r}_0);
+Set &math(\vec{p}_0 = \vec{r}_0, \vec{p}_0^\ast = \vec{r}_0^\ast);
+For &math(k = 0, 1, 2, \ldots);
+　　&math(\quad \alpha_k = (\vec{r}_k^\ast, \vec{r}_k)/ (\vec{p}_k^\ast, A\vec{p}_k));
+　　&math(\quad \vec{x}_{k+1} = \vec{x}_k + \alpha_k \vec{p}_k);
+　　&math(\quad \vec{r}_{k+1} = \vec{r}_k - \alpha_k A \vec{p}_k);
+　　&math(\quad \vec{r}_{k+1}^\ast = \vec{r}_k^\ast - \bar{\alpha}_k A^H \vec{p}_k^\ast);
+　　&math(\quad \beta_k = (\vec{r}_{k+1}^\ast,\vec{r}_{k+1})/(\vec{r}_k^\ast,\vec{r}_k));
+　　&math(\quad \vec{p}_{k+1} = \vec{r}_{k+1} + \beta_k \vec{p}_k);
+　　&math(\quad \vec{p}_{k+1}^\ast = \vec{r}_{k+1}^\ast + \bar{\beta}_k \vec{p}_k^\ast);
+End For

**前処理付きBi-CG法 [#xc2f5148]
+Set an initial guess &math(\vec{x}_0);
+Compute &math(\vec{r}_0=\vec{b}-A\vec{x}_0);
+Set an arbitrary vector &math(\vec{r}_0^\ast); s.t. &math( (\vec{r}_0, \vec{r}_0^\ast)\neq0);, e.g., &math( \vec{r}_0^\ast = \vec{r}_0);
+Set &math(\vec{p}_0 = \vec{r}_0, \vec{p}_0^\ast = K^{-H} \vec{r}_0^\ast);
+For &math(k = 0, 1, 2, \ldots);
+　　&math(\quad \alpha_k = (\vec{r}_k^\ast, K^{-1}\vec{r}_k)/ (\vec{p}_k^\ast, A\vec{p}_k));
+　　&math(\quad \vec{x}_{k+1} = \vec{x}_k + \alpha_k \vec{p}_k);
+　　&math(\quad \vec{r}_{k+1} = \vec{r}_k - \alpha_k A \vec{p}_k);
+　　&math(\quad \vec{r}_{k+1}^\ast = \vec{r}_k^\ast - \bar{\alpha}_k A^H \vec{p}_k^\ast);
+　　&math(\quad \beta_k = (\vec{r}_{k+1}^\ast, K^{-1}\vec{r}_{k+1})/(\vec{r}_k^\ast, K^{-1}\vec{r}_k));
+　　&math(\quad \vec{p}_{k+1} = K^{-1} \vec{r}_{k+1} + \beta_k \vec{p}_k);
+　　&math(\quad \vec{p}_{k+1}^\ast = K^{-H} \vec{r}_{k+1}^\ast + \bar{\beta}_k \vec{p}_k^\ast);
+End For


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*サンプルプログラム [#z4fb948d]
準備中

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*適用事例 [#xb92758f]
準備中

*参考文献および参考書 [#i392ff4b]

**原著論文 [#tb43c3a3]
[6] Roger Fletcher, Conjugate gradient methods for indefinite systems, In: Lecture Notes in Mathematics, G. Alistair Watros (ed.), vol. 506, Springer-Verlag: New York, NY, 1976; 73–89.

**教科書 [#ga846873]
[2] Richard Barrett, Michael W. Berry, Tony F. Chan, James Demmel, June Donato, Jack Dongarra,
Victor Eijkhout, Roldan Pozo, Charles Romine and Henk A. van der Vorst, Templates for the
Solution of Linear Systems: Building Blocks for Iterative Methods, SIAM: Philadelphia, PA,
1993.&br;
P21–23

[14] Yousef Saad, Iterative Methods for Sparse Linear Systems, 2nd ed., SIAM: Philadelphia, PA,
2003.&br;
P222–224

[27] Henk A. van der Vorst, Iterative Krylov Methods for Large Linear Systems, Cambridge University
Press: New York, NY, 2003.&br;
P95–98

[23] Masaaki Sugihara and Kazuo Murota, Theoretical Numerical Linear Algebra, Iwanami Press:
Tokyo, 2009, (in Japanese).&br;
P181–190

[29] 藤野 清次, 張 紹良, 反復法の数理 (応用数値計算ライブラリ)　朝倉書店, 1996.&br;
P38–41
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