[[1 線形方程式の解法の選択]]&br;
[[2 参考文献および参考書の記述]]&br;
線形方程式, &math(Ax=b); >>> 実対称/複素エルミート, &math(A=A^H); >>> 省メモリ型 >>> 最小残差法
#contents

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*概要 [#wc37278a]
-MR法と表記され，日本語表記では最小残差法と呼ばれる．ただし，同じ日本語名を持つ[[MINRES 法]]とは別の解法である点に注意が必要である．
-一般に''MR法''と表記され，日本語表記では最小残差法と呼ばれる．ただし，同じ日本語名を持つ[[MINRES 法]]とは別の解法である点に注意が必要である．

-[[最急降下法]]のパラメータ&math(\alpha);を残差ノルム&math(\| \vec{r} \|_2);を最小化するように決定した解法．

-前処理なしの場合は[[CR 法]]のパラメータ&math(\beta);を0とおいたものに対応する．

-[[CR 法]]と同様に残差ノルムは単調減少する．

-[[最急降下法]]と同様に[[CG 法]]や[[CR 法]]と比べて，反復当たりの計算量および使用メモリが少ない解法である．ただしその半面，一般に収束性はあまり良くない．
-[[最急降下法]]と同様，[[CG 法]]や[[CR 法]]と比べて一般に収束性はあまり良くない．

-[[CG 法]]や[[CR 法]]と比べて，一般に収束性はあまり良くない．
ただし，[[CG 法]]で保存する必要のあるベクトルは&math(\vec{x}_k, \vec{r}_k, \vec{p}_k, A\vec{p}_k);の計4本，[[CR 法]]では&math(\vec{x}_k, \vec{r}_k, A\vec{r}_k, \vec{p}_k, A\vec{p}_k);の計4本であるのに対し，最小残差法では&math(\vec{x}_k, \vec{r}_k, A\vec{r}_k);の3本と少なく，メモリの制約がある場合には選択肢の一つとなりうる．

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*導出 [#zf11b941]

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*アルゴリズム [#y8a66004]
**最小残差法 [#e9c263a3]
+Set an initial guess &math(\vec{x}_0);
+Compute &math(\vec{r}_0=\vec{b}-A\vec{x}_0);
+For &math(k = 0, 1, 2, \ldots);
+　　&math(\quad \alpha_k = (\vec{r}_k, A \vec{r}_k)/ (A \vec{r}_k, A\vec{r}_k));
+　　&math(\quad \vec{x}_{k+1} = \vec{x}_k + \alpha_k \vec{r}_k);
+　　&math(\quad \vec{r}_{k+1} = \vec{r}_k - \alpha_k A \vec{r}_k);
+End For

**前処理付き最小残差法 [#mfd69923]
+Set an initial guess &math(\vec{x}_0);
+Compute &math(\vec{r}_0=\vec{b}-A\vec{x}_0);
+For &math(k = 0, 1, 2, \ldots);
+　　&math(\quad \alpha_k = (\vec{r}_k, A K^{-1} \vec{r}_k)/ (\vec{r}_k, A K^{-1} \vec{r}_k));
+　　&math(\quad \vec{x}_{k+1} = \vec{x}_k + \alpha_k K^{-1} \vec{r}_k);
+　　&math(\quad \vec{r}_{k+1} = \vec{r}_k - \alpha_k A K^{-1} \vec{r}_k);
+End For


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*サンプルプログラム [#q9d4b001]
*サンプルプログラム [#weda6485]
準備中

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*適用事例 [#k9ffd69e]
準備中

*参考文献および参考書 [#o45cbf58]
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